By N. H. Abel, E. Galois

ISBN-10: 364251944X

ISBN-13: 9783642519444

ISBN-10: 3642520065

ISBN-13: 9783642520068

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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Satze annimmt, dass fL eine Potenz von 2 sei, so erllält man als Zusatz den folgenden Satz: Satz VII. Wenn die Wurzeln einer Gleichung vom Grade 2 w durch 48 Abel. dargestellt werden können, so l,ann diese Gleichung mitteIst der Ausziehung von w Quadratwurzeln gelöst werden. X 1+ 2'"_ 1 Dieser Satz, angewendet auf die Gleichung ----1-=0, in welcher 2'" + 1 eine Primzahl ist, giebt den Satz x- VOll Gau s s für den Kreis. § 4. Von den Gleichungen, deren sämtliclle Wurzeln rational durch eine von ihnen ausgedrückt werden können.

F({tn-l x2) = F(f:l'l-l x lJi ). Man hat 35 Algebraisch auflösbare Gleichungen. Erhebt man jede Seite dieser Gleichungen auf die hieraus: 18) yte Potenz, so erhält man Y~ =~ [eFXI)" + (F(l}x 1))" + ... +(F(l}n-lx~»)"] Y; = (F({}x 2»)" + ... + (F(l}n-lx2 ))'] Ym, ~[(FX2)' + n - l x m) )'] • =n:1 [ eFx",)'+(F(l}xm))' + ... + (F(/} Addiert man diese letzteren Gleichungen, so erhält man den Wert von y~ "+ Y; + y; + ... x. J2+ Y3+"·+ Ym Die rechte Seite dieser Gleichuug lässt sich rational durch die Coefficienten von ~(x) und {}x, d.

Ist p. = 2, so ist VI + V2 eine Function von der Form (a). '(x l ). ), wo m eine der Zahlen 2, 3, 4, 5 ist. '(XI) gleich fünf sein soll. ' (x3 ), 24 Abel. Die rechte Seite dieser Gleichung aber hat mehr als fünf Werte, nämlich dreissig. Auf dieselbe Weise zeigt man, dass In nicht gleich 4 oder gleich 5 sein kann. 1. nicht g'leich 2 ist. 4. Es sei fL = 3. In diesem Falle hat VI + V2 + V3 und demnach V4 + Vs = (VI + V2 + V3 + V4 + v s) -- (VI + V2 + v:J fünf Werte. Wir haben aber eben gesehen, dass diese Annahme unzulässig ist.

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Abhandlungen über die Algebraische Auflösung der Gleichungen by N. H. Abel, E. Galois


by Thomas
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